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随机事件及其概率

基本概念

试验
- 随机试验E：符合下列规则的试验
  - 在相同条件下可重复进行
  - 结果不止一个，但可知所有结果
  - 不能预知出现哪种结果
- 样本空间S：试验的所有结果集合
- 样本点（基本事件）e：集合中的一个可能的结果
  - 每次试验只有一个样本点出现
事件
- 随机事件A：简称事件，样本空间S的子集，也就是一些可能情况（样本点）的集合
  - 频率： $R_n(A) = \displaystyle\frac{f_A}{n}$ ， $f_A$ 为频数（在n次试验中发生的次数），
  - 概率： $P(A)$ ，度量事件发生的可能性大小的值
- 特殊事件
  - 必然事件S
  - 不可能事件∅
- 独立事件：若 $P(AB)=P(A)P(B)$ $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则A、B相互独立，A发生不会影响B发生
  - （注意，独立事件有且仅有交集为两概率相乘这一项定义，两独立事件除空集外是必然有交集的）

关系与运算

运算法则为集合的运算法则

关系
- 包含
  - A发生B一定发生，B发生A不一定发生
    $A\subset B$ （集合的包含）
- 相等
  - A就是B
    $A\subset B 且 B\subset A$ （集合的相等）
    $A = B$
- 互斥
  - A发生时B不发生
    $A\cap B = \emptyset$
- 对立
  - 要么A发生，要么B发生
    $A+B=1$
    $B=\overline{A}$
运算
- 积事件（交集）
  - C为A、B同时发生
    $C = A\cap B$
- 和事件（并集）
  - C为A、B任意一个发生
    $C = A\cup B$
- 差事件
  - C为A发生时B不发生
    $C = A-B$

古典概率模型

样本点有限并且等可能发生的试验

$P(A)=\displaystyle\frac{count(A)}{count(S)}$

count(X)为事件的样本点总个数
求样本点个数可能会需要组合数学

几何概率模型

样本点无限且等可能发生的试验

为古典概率模型的推广，待补充

条件概率

B发生时A发生的概率

$P(A\mid B) = \displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}$

乘法定理
$P(AB) = P(A\mid B)\times P(B)$

当 $A\subset B$ 时，P(A) $\times$ P(B)并不代表任何特定的概率
此时它只是两个概率的乘积，没有特殊的意义

全概率公式

有 $S_1$ ， $S_2$ ，……， $S_n$ ，且互不相容（为划分）
且 $P(S_i)>0$ ， $\sum_{i=1}^{n}Si=1$ ，则：

$P(A)$ $=P(A\mid S_1)P(S_1)$ $+P(A\mid S_2)P(S_2)$ $+……$ $+P(A\mid S_n)P(S_n)$

贝叶斯公式

Bayes

全概率公式的应用

有 $S_1$ ， $S_2$ ，……， $S_n$ ，且互不相容（为划分）
且 $P(S_i)>0$ ， $\sum_{i=1}^{n}Si=1$ ， $P(A)>0$ ，则：

$P(S_i\mid A)$ $=\displaystyle\frac{P(AS_i)}{P(A)}$ $=\displaystyle\frac{P(A\mid S_i)\times P(S_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A\mid S_j)\times P(S_j)}$

基本概念
关系与运算
古典概率模型